08 加乘法则:如何计算复杂事件发生的概率?

08 加乘法则:如何计算复杂事件发生的概率?

在我们的工作和生活中少不了对概率的计算,对概率的准确计算会帮助我们做出更加合理高效的决策。

例如,早上出门之前,你需要对是否携带雨伞进行决策。如果没有任何依据而随机决策,那么就会遇到下雨没带伞或者晴天带伞的麻烦;而如果有依据,你知道今天下雨的概率超过
80%,那么你就会做出带雨伞的决策,来规避下雨带来不便的风险。

那么问题来了,对于一个事件而言,其发生的概率该如何计算呢?这一讲我们就来解答。

概率来自统计

还记得我们最开始接触概率时的定义吗?概率用来描述一个事件发生的可能性,它是个 0 到 1 的数字。概率的定义式就是 m/n,含义为假设某个现象重复执行 n
次(n 较大),其中目标事件发生了 m 次,则目标事件发生的概率就是 m/n。

举个例子,一枚硬币重复抛 100 次,其中正面朝上 49 次,反面朝上 51 次,则硬币正面朝上的概率就是 0.49。

概率的定义式非常重要,如果你能灵活运用,并结合一定的代码开发,有时候可以快速解决一个复杂的数学问题。

我们举个例子,在一个正方形内有一个内切圆,在正方形内随机选取一点,问该点也在圆内的概率是多少?
Lark20201117-165117.png
这是个数学问题,但你可以借助概率的定义式完成计算,代码如下:

import random

def main():

    m = 0

    n = 1000

    for _ in range(n):

        x = random.random()

        y = random.random()

        if x*x + y*y < 1:

            m += 1

    print 1.0*m/n

if __name__ == '__main__':

    main()

我们对代码进行走读:

  • 第 4、5 行定义了 m 和 n 两个变量。其中,n 赋值为 1000,意味着我们要重复执行这个动作 1000 次,m 表示坐标点落入圆内的次数;
  • 接下来,就是第 6~10 行的 1000 次实验的循环了。每次实验,我们随机生成一个坐标点 (x,y),其中 x 和 y 的取值范围都是 0~1 的浮点数;
  • 这样,在第 9 行中,如果点 (x,y) 与原点的距离小于 1,则表示该点在圆内,m 自动加 1;
  • 最后,打印出 m 和 n 的比值。

我们运行程序的结果如下: Drawing 1.png

这个题目如果从数学的视角来计算,结果就是 P =πr2÷4r2= π÷4 = 0.785,这与我们的计算结果是一样的。

未来,如果你遇到复杂的概率计算时,不妨试着用这种统计法来求解。

用加乘法则来计算复杂事件的概率

统计法是一种用程序思想解决数学问题的范例,但这并不意味着你不需要学习数学中概率计算的原理。原因在于,有些场景下重复试验的条件并不成立;或者是事件极其复杂,重复试验的代价太大。这就需要我们掌握一些基本的概率计算法则。

在这一课时,我们重点介绍加法原理和乘法原理。

1.加法原理

加法原理可以理解为,一个事件有多个可能的发生路径,那么这个事件发生的概率,就是所有路径发生的概率之和。

例如,在掷骰子的游戏中,掷出的点数大于 4 的概率是多少?

掷骰子的 6 个可能的点数是 6 个路径,每个路径发生的概率是 1/6,其中满足条件中点数大于 4 的只有最后两条路径。利用加法原理则有,点数大于 4
的概率为 1/6 + 1/6 = 1/3,如下图: ![Lark20201117-165123.png](assets/Ciqc1F-zj1qAN-
hzAACxn7OHrQI389.png)

2.乘法原理

如果将加法原理理解为是串行的逻辑,那么乘法原理就是个并行的逻辑。乘法原理可以理解为,某个事件的发生,依赖多个事件的同时发生。那么原事件发生的概率,就是所有这必须发生的多个事件的乘积。

例如,你与大迷糊一起玩掷骰子的游戏,求大迷糊掷出 4 点的同时,你最终获胜的概率是多少?

这时候,计算的概率就必须两个条件同时发生。这两个条件分别是,大迷糊掷出 4 点和你的点数大于 4。根据前面的计算,我们知道掷骰子点数大于 4 的概率为
1/3。因此,这两个条件发生概率的乘积就是最终的结果,即 P (大迷糊掷出 4 点的同时,你最终获胜) = 1/6×1/3 = 1/18 = 0.0556。

对于这个例子,我们可以用统计法进行仿真,代码如下:

import random

obj = 0.0

for _ in range(10000):	

    you = random.randint(1,6)

    damihu = random.randint(1,6)

    if damihu == 4 and you > damihu:

        obj += 1

print obj/10000

我们对代码进行走读:

  • 第 3 行的 obj,就是最终事件发生的频次;
  • 我们对现象观察 10000 次,这样就形成了第 4~8 行的 for 循环;
  • 每次循环,在第 5 和 6 行,随机生成你的点数和大迷糊的点数;
  • 第 7 行进行判断,大迷糊为 4 点且你的点数大于大迷糊的点数;
  • 如果满足条件,则在第 8 行执行 obj 加 1;
  • 最终,打印出 obj 除以 10000。

这段代码运行的结果如下图,跟我们计算的结果几乎一致。
Lark20201117-165125.png

条件概率

刚刚的加乘法则,适用于独立事件的概率求解。独立事件的含义,就是上面所提到的原子事件。也就是,拆解出的子事件之间没有任何的先后或互相影响结果的因素。例如,大迷糊爱喝咖啡,和大漂亮爱穿高跟鞋,就是两个毫无关系的独立事件。对于独立事件,应用加乘法则可以很快得到整体的概率。

那么,如果我们无法得到独立的事件,而都是耦合在一起的事件,又该如何计算概率呢?这就需要用到条件概率的知识了。

条件概率 ,指事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率,记作 P(A|B),读作“B 条件下 A 的概率”。条件概率的定义式为
P(A|B) = P(AB) / P(B),将其变换一下就是 P(AB) = P(A|B) × P(B)。

条件概率的特殊性,在于事件 A 和事件 B 有千丝万缕的联系。如果二者为毫无关联的独立事件的话,事件 A 的发生则与 B 毫无关系,则有 P(A|B)
= P(A)。

我们给一个例子辅助理解。假设有一对夫妻,他们有两个孩子。求他们在有女儿的条件下,两个孩子性别相同的概率是多少?

这个概率看似难求,但只要定义好事件并套用定义式,就能完成计算。我们把事件 B 定义为,这对夫妻有女儿,事件 A 为两个孩子性别相同。因此,计算的目标就是
P(A|B),也就是计算 P(A|B) = P(AB) / P(B)。

  • 事件 AB 的含义是这对夫妻有女儿,且两个孩子性别相同。也就是说,这对夫妻的孩子都是女儿,即第一胎是女儿,第二胎还是女儿。此时根据乘法原理,得到 P(AB) = (1/2)×(1/2) = 1/4。
  • 事件 B 为这对夫妻有女儿,不管第几胎,甚至是两胎都是女儿。这样就有了 3 种可能的情况:分别是第一胎女儿、第二胎儿子;第一胎儿子、第二胎女儿;第一胎女儿、第二胎女儿。这样根据加法原理和乘法原理,得到 P(B) = (1/2)×(1/2)+(1/2)×(1/2)+(1/2)×(1/2) = 3/4。因此 P(A|B) = P(AB) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3。

对于这个例子,我们用如下代码进行仿真:

import random

fenzi = 0

fenmu = 0

for _ in range(1000):

    #0 is girl; 1 is boy

    first = random.randint(0,1)

    second = random.randint(0,1)

    if first == 1 and second == 1:

        continue

    else:

        fenmu += 1

        if first == second:

            fenzi += 1

print 1.0*fenzi/fenmu

我们对代码进行走读。

  • 第 6 行开始,重复循环 1000 次。
  • 第 8~9 行,随机生成两个孩子的性别。用 0 代表女儿,用 1 代表儿子。如果两个孩子都是儿子,则进行下一轮迭代。因为,这并不满足至少有一个女儿的假设条件。
  • 第 12 行开始,如果有女儿,则分母加 1,如果两个孩子的性别一致,则分子也加 1。
  • 最终打印出分子和分母的比值。

程序执行的效果如下图所示,结果与我们计算的近似相等:
Lark20201117-165128.png
当你遇到一个复杂事件的时候,一定要通过串行或并行的两重逻辑进行拆解。再基于加乘法则,利用每个原子粒度事件的概率,合成最终复杂事件发生的概率。

接下来,我们看一些更复杂的问题。

一个概率计算的案例

假设大漂亮在某电商公司,负责实时的红包券投放策略。大漂亮设计的投放策略是,如果用户在商品的详情页停留了 1
分钟以上,则认为该用户正在纠结是否购买此商品。此时,给用户实时投放一定金额的红包,来增加用户的购买可能性。

试着分析一下,这里的事件之间的概率关系,以及投放红包到底产生了怎样的概率刺激效果?

可以想象,用户购买某个商品的动作顺序是,点击商品详情页,再付款购买。很显然“点击详情页”和“付款购买”并不是独立的事件,原因在于不点击详情页是无法完成购买动作的,二者存在先后关系。因此
P(点击并购买) = P(购买|点击) × P(点击) ,这个公式对所有的用户都生效。

接下来,大漂亮的红包投放条件是,用户在商品的详情页停留了 1
分钟以上。此时,产生购买行为的用户就有两部分,分别是使用红包的购买用户和未使用红包的购买用户。很显然,使用红包和不使用红包是两个并行的逻辑,可以采用加法原理进行概率计算,因此有

P(点击并购买) = P(点击并使用红包购买) + P(点击并未使用红包购买)

再分别拆解两部分概率,根据乘法原理和条件概率,则有

P(点击并购买) = P(购买|点击并获得红包) × P(获得红包|点击) × P(点击) + P(购买|点击并未获得红包) × P(未获得红包|点击)
× P(点击)

假设策略上线后,大漂亮根据上线前后的数据,统计得到了每个环节的概率如下表所示:

Lark20201117-165130.png

从表中数据可以发现以下几个结论:

  • 投放红包是在点击之后,因此对点击率无影响;
  • 用户点击商品详情页的条件下,获得红包的概率是 0.3,未获得红包的概率是 0.7;
  • 对于未获得红包的用户,其购买率与实验前一致,都是 0.4。对于获得红包的用户,其购买率会上升,达到 0.5。

最终,根据公式计算下来,点击并购买的概率由 0.2 提升到了 0.215,这就是红包投放的收益。

小结

最后,我们对这一讲进行总结。概率的计算是高中和大学数学中有趣又让人头疼的内容,为了学好概率的知识,你不妨牢牢记住下面几个关键点。

  • 概率来自统计。当你束手无策时,不妨从多次的重复试验中,统计目标事件出现的频次,来估算概率。
  • 加乘法则是计算概率的有力手腕。对复杂事件按照并行或串行来拆解,再利用加乘法则就可以完成复杂事件的概率计算。
  • 条件概率是处理有关联事件的方法。虽然条件概率有些晦涩,但牢牢记住定义式 P(A|B) = P(AB) / P(B),就能让条件概率转换为普通事件的概率。在实际应用中,一定要耐着性子,仔细琢磨事件背后的相关关系,再利用这些方法,就能把概率计算清楚。